Teselado de Penrose en la UdeC

TeseladoUdeC

Gracias al proyecto Ciencia y Arte de la Dirección de Extensión de la Universidad de Concepción, en junio de 2018 se montó un mosaico mural en la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. El diseño corresponde a un teselado de Penrose, estructura creada por el físico Roger Penrose en 1973, como respuesta al problema de encontrar un juego de baldosas aperiódico simple, esto es, un conjunto pequeño de teselas que solo puede embaldosar el plano de manera no periódica. Como veremos, este objeto matemático tiene increíbles conexiones con la ciencia y el arte.

Se trata de un mosaico hecho con solo dos tipos de rombos, dispuestos en el plano sin traslaparse ni dejar espacios vacíos. El diseño posee las propiedades de aperiodicidad, autosimilaridad, cuasi-periodicidad, además de una fuerte presencia de la razón áurea en distintas formas.

Las piezas originales creadas por Roger Penrose están decoradas con líneas de colores, cuya continuidad debe ser respetada entre piezas adyacentes. Resulta que cualquier recubrimiento del plano que respete esta restricción conducirá a un diseño no periódico, es por esto que se dice que este juego de baldosas es aperiódico.

La condición dada por las decoraciones resulta equivalente a incorporar calados en los bordes de los rombos, los que deben encajar de manera exacta.

P3
P3
P3-O
P3-A

Pero si el embaldosado no es periódico ¿cómo estar seguros que realmente puede cubrir el plano infinito? Para convencerse es necesario mostrar una técnica de construcción, que se pueda repetir infinitas veces hasta cubrir el plano completo sin errores. La técnica usada para este teselado se llama substitución, y consiste en descomponer cada rombo en otros rombos, o mitades de rombos, más pequeños, tal como se muestra en la figura. Las condiciones de adyacencia de estas nuevas formas son las mismas que las de las originales, por lo tanto el proceso se puede repetir sobre los rombos más pequeños, una y otra vez.

P3 substitución
La solución que aquí se presenta es un extracto del teselado original, el cual es infinito. Se obtiene a partir del rombo más grueso mediante el proceso antes descrito, pero aplicando una pequeña variación: en cada paso se borran los triángulos agudos que quedan incompletos en el borde de la figura, mientras que los triángulos obtusos se completan en un rombo. Esta regla se repite sobre los nuevos rombos y así 7 veces sucesivas hasta llegar al patrón completo.
A0
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A5
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A7
El patrón resultante no puede ser periódico ya que la regla de substitución no lo es. Sin embargo es casi periódico, esto significa que si escogemos una parte finito del teselado, la veremos repetida con frecuencia, pero la frecuencia con que aparecerá va a ser más baja mientras más grande sea el trozo que consideremos. Esta propiedad proviene justamente del proceso substitutivo y del hecho que la regla de substitución rota los rombos en un ángulo que es un divisor entero de 360.
Otra propiedad que encontramos en nuestro teselado es que es un fractal. La figura completa se puede descomponer en versiones más pequeñas de la misma, en efecto, la imagen obtenida en una iteración del proceso aparece 3 veces escondida dentro de la siguiente iteración. Como cada iteración es similar a la siguiente, podemos decir que el patrón completo contiene múltiples apariciones de una versión reducida de sí mismo escondidas a distintas escalas: es auto similar.
Fractal
En 1982 Dan Shechtman encontró un compuesto químico que presentaba un diagrama de difracción que parecía periódico, pero que tenía simetría rotacional de orden 10, es decir, que si el diagrama se rota en 360/10 grados queda igual. Tal objeto es totalmente imposible en geometría ¿cómo podía observarlo entonces? ¡la respuesta es que el diagrama no era periódico si no cuasi periódico, como nuestro teselado! De esta interacción entre matemática y química nació el concepto de cuasi cristal que llevo a Dan Shechtman a ganar el Premio Nobel en 2011. Desde entonces se han descubierto muchos cuasi cristales diferentes y se investigan sus cualidades y posibles aplicaciones industriales.
Pero además de ser aperiódico, cuasi periódico y auto similar, el teselado de Penrose se basa en rombos que encontramos dentro de la estrella de cinco puntas y del pentágono ¿por qué Penrose tomó estas figuras para hacer su famoso teselado? no lo sabemos; no fue el único que se obsesionó con los pentágonos, Kepler también había buscado en estas figuras un teselado que recubriera el plano, aunque no lo logró. Lo que sí sabemos es que la proporción entre las diagonales y los lados del pentágono es la razón áurea, número asociado a la belleza y frecuentemente presente en la estructura de los vegetales.
Estrella de 5 puntas con teselas
Así mismo, el pentágono es recurrente en el arte islámico, pues representa al "ser humano". Curiosamente, hace unos años se descubrió que varias obras arquitectónicas islámicas contienen patrones muy parecidos al teselado de Penrose, e incluso incluyen implícitamente la noción de substitución.
Darb-i Imam shrine Isfahan Irán

Fabricación

El diseño fue hecho usando la aplicación de código abierto Processing, en la cual se implementó la regla de substitución antes descrita. El programa computacional se utilizó para buscar el diseño exacto de la obra, la forma del borde, los colores, etc. Esta fue la etapa más prolongada del trabajo, pues las posibilidades eran múltiples, y cada opción explorada demandó horas de programación.

Para realizar el mosaico, se usaron cerámicas esmaltadas artesanalmente en Chile. La forma original de estas es cuadrada, por lo tanto hubo que cortarlas. Para esto se utilizó una guillotina diamante junto con una serie de moldes de madera diseñados por nosotros, que fueron necesarios para asegurar la cerámica en el ángulo preciso en que se quería cortar. De cada cerámica se obtuvieron al rededor de 6 rombos gruesos o 9 rombos delgados (teselas). En 10 jornadas de trabajo logramos obtener la cantidad deseada de 1699 teselas.

Luego de esto imprimimos el patrón por partes, y lo usamos como mapa para disponer sobre él las teselas, creando parches, los que irían posteriormente al muro. Obtuvimos de esta manera un puzzle con 83 piezas que conformaban el teselado completo.

El montaje final se logró durante otras 10 intensas jornadas de trabajo. La mayor dificultad en esta etapa fue determinar la posición exacta de cada parche en el muro, puesto que pequeños errores acumulados podían hacer que los últimos parches simplemente no cupieran entre los demás. Para ayudarnos imprimimos una imagen a escala real del patrón completo y la calcamos en el muro. Como la separación entre las baldosas no es homogénea, tampoco podíamos usar separadores de baldosas estándar, fue entonces necesario utilizar un pegamento de secado rápido, que evitara el deslizamiento de las teselas sobre el muro una vez colocadas.

Herramientas
Guillotina
Teselas
Teselas
Parches
Postura
Anahí
Agradecemos a los amigos que nos apoyaron durante el montaje, Alvaro Oyarzún, quien nos ayudó en el montaje aportando su talento y meticulosidad, Guillermo Rubilar, que filmó durante todo un día. A cerámicas Myriam por seguir con el bello trabajo de esmaltado artesanal. A todos los programadores de software libre de Processing, LaTeX y Linux. A quienes financiaron el trabajo: Dirección de Extensión, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Departamento de Astronomía, Departamento de Estadística, Departamento de Física, Departamento de Geofísica, Departamento de Ingeniería Matemática y Departamento de Matemática. Finalmente agradecemos también a la Sociedad de Matemática de Chile que estuvo pendiente de este proyecto desde que nació, nos apoyó moralmente y financió el juego de puzzle que hoy acompaña al Festival de Matemática y ayuda a promover esta obra por todo Chile.
Obra Teselado de Penrose
Dimensiones 2,7 x 2,8 m
Localización Muro escalera externa Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Universidad de Concepción, Chile
Número de teselas 1699
Diseño Noviembre 2016 - Mayo 2017
Ejecución Junio 2017 - Junio 2018
Autores Anahí Gajardo Schulz, Juan Oliva Molina